文/黃小石博士
數學是透過在紙上的一些無意義的記號，建立簡單法則的遊戲。─希爾伯特[1]
數學用在自然科學上，何以竟有如此驚人的有效? ─物理學家維格納[2]
數學是人類理性的高峰，它不但是一切理論科學的語文，同時也是研究生物、工程、心理、網絡、氣象、天文、經濟、電腦、統計、通訊等等學科的基本工具。有人[3]認為數學是一套自洽相容的形式體系[4]，與實存無關；有人認為數學是一種有效的思維方式，它的答案與事實符合只是一種巧合；也有人認為數學是真理的一部份，自然律的數學公式，就是自然界的實存，這些公式所預測的，都是實際存在的現象，量子力學好像就是這種例子。到底數學與「真理」的關係是什麼?數學與「實存」的關係又是什麼？這卻不是一個簡單的問題。不但數學很特別，數學家也很特別，好像是與我們這等凡夫俗子截然不同的人物。中國數學界在二十世紀有位華羅庚[5]博士就是這樣的人，他與家父結識多年。在我年約6歲的時候，華博士自普林斯頓[6]來我家[7]吃飯，來了之後，始終若有所失，一言不發，家父便將他請至我的房間休息。約到半夜，才從房間出來，喜形於色地說：「想出來了!想出來了!」然後才想要吃飯。至於他把什麼想出來了，是先父一直交代不清，也不可能交代得清的。這就是我對數學家的第一個印象。
徐賢修[8]教授也是一位知名的應用數學家，是先父母在著名的浙江省立第十中學的同學。記得這些數學家們到我家來作客的時候，總是有些奇怪的對話：先是定義一些詞彙，再講幾個什麼不證「自」明的「公」理，再接著說：「所以我們就可以『顯而易見』地知道……」但到底怎麼個「顯而易見」的，常是神來之筆，教旁人百思不解，令我這個將來要學物理的人，怎麼也想不明白「其」物之理，只有敲自己腦袋的份兒，喃喃自語道：「我怎麼這麼笨!」然而換作其他令我想不通的事，我可就沒有這麼謙虛了，可能就追根究底地說：「這是什麼不合邏輯的事，(因為我想不通)一定有問題!」數學就不一樣，它是有標準正確答案的，這絕對的答案的存在，就足以令人謙卑了。
我在唸初中的時候也曾發現過一些簡單的數學定理[9]，我想這是許多喜好數理的人都有的經歷，同時我們也發現這些數學定理，其實早就有人發現，已經是個眾所週知的定理了，這些定理好像是個先存在的真理，等著人來發現一樣。在數學上這類的例子很多，無論人是從什麼不同的思維方式或背景出發來思考同一個問題，最後所得到的結果都是一致的。比方愛因斯坦在1915年廣義相對論快要成形時，知道在哥庭根[10]大學的數學家希爾伯特也在思考廣義相對論的公式是什麼，於是愛因斯坦非常焦急，日以繼夜地把相對論趕出來，結果希爾伯特也找到了答案，雖然他的出發點與愛因斯坦的不盡相同，但是所得的結論卻是一樣的(後來希爾伯特並沒有與愛因斯坦爭議廣義相對論是誰先發現的，慷慨樂意地把優先權讓給愛因斯坦，成了科學界的美談[11])。數學上的真理表明它像是屬於一種客觀的 實存，是絕對的，等著人來發現它們。1983年諾貝爾物理獎得主昌德拉塞卡[12](Chandrasekhar)說：「當我每次發現一個新的定理，我都覺得這些真理本來就已存在，只不過被我撿到就是了。」[13]
1968年，筆者的論文指導教授韋伯博士[14]在法國開會時，寄給我一封緊急航空郵件[15]，告知當時我所研究的題日有些法國科學家也正在積極研究中，要我趕緊將成果發表，否則若是讓法國人[16]捷足先登，我四年的努力就可能「泡湯」了。當時 真是緊張萬分，因為我們都清楚的知道：我們既然所觀察的是 同樣的實存，其正確的答案便只有一個。客觀的實存不是人的頭腦所想像出來的一種因人而異的概念。
為什麼人的理性可以認識自然界中真實的光景？包立[17]推算出的「微中子」[18]，迪拉克[19]推算出的「反物質」[20]，都是一些想不到而其實存在的東西，數學何以是這樣的可靠呢？是不是一切實存都必需是合理的?是不是一切合理的結論都必指向一個相關的實存?我們的答案似乎真是如此，我們卻不知道為什麼理性與實存有這麼密切的關係，一如歐幾里德所說：「自然定律只不過是上帝的數學思想就是了。」[21]
數學是人的創造，而自然界不是人的創造，自然界的實存沒有理由必需與我們認為該有的樣式相合，所以我們也沒有什麼理由相信，所有的存在都須要合乎人的理性。羅素是位哲學家，也是一位極有成就的數學家，他從哲學的角度來看數學，說：「數學可以被定義為一種我們永遠不知所云為何、也不知所云是否屬實的課題。」[22]他並不以為數學能反應實存；連愛因斯坦都說：「非常嚴謹的數學與實存無關；與實存有關的數學卻不嚴謹」[23]，也許這是因為數學可以只是一個自我相容的邏輯系統，建立在一些定義、公理、及自定的操作方式上，不需要與任何的實存有關；他對量子論一直不能接納，以為量子論是種數學遊戲，與人的直覺不合，不足以說明微觀世界的真理，他甚至說：「我不信任數學」[24]。但是愛因斯坦想盡各樣的方法，總是不能找出量子論中任何的紕漏，量子場論公式的解都是與實證的考驗相合。這也正是數學特別的地方。
其實愛因斯坦廣義相對論也是建築於純理性(數學)的推演上。一般新的科學理論的產生常是出於要解釋某種不能解釋的新現象，廣義相對論卻不是為了要解釋什麼新的現象，而只是要看看在一個合理的假設─等效原理(Equivalence Principle)，再加上許多數學的演算，會有什麼結論。沒有想到其結論匪夷所思，完全不符合人的直覺(比方說重力只不過是時空的扭曲，時間在重力場中相對地變慢……)，但是這些意想不到結論，至今都經得起實證精確的考驗，正如拜倫[25]所言：「真實比虛構更顯得離奇」就此也看出數學奇妙的地方。
相對論立論雖然不是建築在已觀察到新的現象上，它卻能預測什麼新的現象可以被觀察到，從實際的觀測中得到證實。人的理性何以竟然能夠識透無法想像的實存!自然界中若有什麼是「不大自然」的話，人有理性的思維就是一個最好的例子。偉大英國女性數學家赫德生說得好：「對相信上帝是真理 的基督徒而言，所有真理都是關乎上帝的本性的，所以數學就是一門神學。」[26]
注釋
1. David Hibert(1862-1943)德國二十世紀最偉大數學家之一。
2. Eugene Wigner，匈牙利物理學家，1963年獲得物理諾貝爾獎。
3.德國大數學家David Hilbert(1862-1943)極具影響力的看法。
4. Mathematical Formulism
5. 華羅庚(1910-1985)我國世界知名的數學家，他對解析數論、典型群、多複變函數論、偏微分方程等等許多數學領域，都有極重大的貢獻。
6. 1946年華羅庚在普林斯頓高等研究院擔任研究員。
7. 先父當年在華盛頓的中國大使館工作。
8. 中國應用數學家(1912-2002)，浙江永嘉縣人，曾任普渡(Purdue)大學教授，台灣清華大學校長，台灣工業研究院董事長，中央研究院院士等職。
9.記得年輕初學三角之時，得知任何一個三角形的內角和都是180度。一日早晨醒來，賴在床上，不經意看見房間一扇窗子外有一條樹枝在窗子的一角斜斜切過，使得這窗子看起來好像一個五角形。我呆看了一陣，忽然明白一件事，立即從床上跳起來，拿出一張白紙，畫上許多不同的多邊形，而每個多邊形都可以看成是由該多邊形的邊數減二個的三角形構成的：四邊形是由二個三角形構成(4-2=2)，五邊形是由三個三角形構成(5-2=3)等等。既然每個三角形的內角和都是180度，與這三角形的長相無關，所以我得知任何一個多邊形(N邊形)的內角和必是(N-2)x180∘。
10. Göttingen University(Georg-August-Universität Göttingen), Göttingen, Germany.
11. David Hilbert不與愛因斯坦爭優先權，他以相對論應當是愛因斯坦的「地盤」，而成了科學史上的一段佳話。可惜國人李政道、楊振寧共同取得 1957年諾貝爾物理獎之後不久，就開始爭議「宇稱守恆」理論的優先權。
12. Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995)
13. It Must Be Beautiful: Great Equations of Modern Science, Edited by Graham Farmelo, Granta Books (2002) ISBN: 1-86207-479-8
14. Watt W. Webb，現在是康乃爾大學講座教授，美國國家科學院院士，美國工程學院院士，發表論文超過334篇，並擁有22項專利權，2010年榮獲三年一度的The Alexander Hollaender Award in Biophysics。
15. 一個沒有E-mail的世界在今日已是不能想像的了。
16. J. Meunier, Laboratoire de Spectroscopie Herzienne de 1’ENS, Paris, France，後來也是研究液體臨界面結構的知名學者。
17. Wolfgang Pauli(1900-1958)，曾獲1945年諾貝爾物理獎。
18. Neutrinos，共有三種，是不帶電的粒子，靜止質量可能不是零。
19. Paul Dirac (1902-1984)，曾獲1933年諾貝爾物理獎。
20. Anti-matter，由反粒子構成，粒子與反粒子相遇則彼此殲滅，形成能量。
21. Euclid: “The laws of nature are but the mathematical thoughts of God”
22. 「Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true.」- Mysticism & Logic
23.“As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.”Sidelights on Relativity, by Albert Einstein, 〈Geometry and Experience〉: An expanded form of an Address to Prussian Academy of Sciences in Berlin on January 27, (1921)
24.“I don't believe in mathematics." Quoted in Albert Einstein by Carl Seelig
25. Lord Byron (1788-1824)
26. Hilda Phoebe Hudson(1881-1965):“To all of us who hold the Christian belief that God is truth, anything that is true is a fact about God, and mathematics is a branch of theology.”
本文摘自宇宙光出版社 《實存的真相》
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本文摘自宇宙光出版社 《實存的真相》
