文/黃小石博士
我待在普林斯頓高等研究院[1]，主要就是為了每天可以陪哥德爾[2]散散步。
─愛因斯坦
任何一個數學邏輯公理系統[3]，若是不自相矛盾self consistent，則必不完備incomplete。
─哥德爾不完備定理
哥德爾出生於捷克斯拉夫的摩拉維亞[4]，自幼敏而好學，尤其喜愛數學、哲學、語文、歷史等科目。18歲進入維也納大學就讀理論物理，後轉攻數學，並加入一個當時以史里克[5]為首頗為著名的「維也納學圈」[6]，風雲會集，常在「中央納咖啡屋」[7]中聚會進行學術討論，「邏輯實證主義」[8]就是這「學 圈」所發展出來的哲學立場。
1930年，哥德爾在維也納大學完成他的數學博士學位，證明了「一階邏輯」[9]的完備性，解決了當時希爾伯特[10]所提出數學上未能證明的基礎問題之一。那時，有許多數學家與哲學家，在希爾伯特的帶領下，希望能把數學建立在一個又完整、又確實的邏輯基礎上，哥德爾一階邏輯完備性的證明鼓舞了當時許多的熱衷人士。次年(1931年)，25歲的哥德爾發表了他的「不完備定理」[11]，引起了軒然大波，強烈地震撼了整個學術界，清楚地意味著人類的理性體系，用邏輯推理的科學方法不可能「證明」一切的真理。就算把一些不能證明的真理列入為「公理」，仍然會產生一些新的不能證實的「稱述」還是有些真理可以先「知道」其真實性，但卻不能用「公理」的論證方式來證明。普林斯頓高等研究院的物理學家戴森[12]博士就主張數學真理是「不能窮盡」的(inexhaustible)。
哥德爾「不完備定理」的嚴格數學證明，不是「非專家」可以容易明白的[13]，基本上它的精神是出於對「關身」(Self-reference)敘述時所出現的困難有關。比方說：若我宣稱「他是個總是說謊的人」，這句話雖然損人，看起來卻沒有邏輯上的問題，意思是：他說的每一句話都是假的；但是他若是自己說：「我總是說謊」，這句話涉及他的自身，那問題就大了，因為他說的這話若是屬實(正如我的前題)，他就並非「總是 說謊」了，至少他說了一句真話；但是若這句話也是句謊話，就代表他並非「總是說謊」，他實在是騙我們說他「總是說謊」。
現在試想一個「集合」(set)包含一切可證實的「真的陳述(true statement)」(例如火是熱的、冰是冷的......都算是這類的話)，那麼「你不能證明這句話是真的」這句話，是不是這個「集合」的一份子呢?雖然我們知道這句話是真的，但是它卻不能是這個「集合」的成員，因為那些必須是「可以證明是真的」的話才有資格。也許邏輯遲早會碰到「語言學」[14]上的困難，並非所有我們認為屬實的事，都可以用「科學方法」來證明的。若是不信，試試來證明「我愛你」看看!
杜林通用計算機[15]是一種用來模擬人以紙筆進行邏輯(數學)運算的機器，當杜林機獲得答案後就停止操作，稱為「停機」。但是我們卻不能判斷任意一個程序，是否會在有限的時間之內結束運行，這「停機問題」無解(就是不知道杜林計算機會不會找到一個問題的答案)，也可以看為是哥德爾不完備定理的證明之一。
數學上的侷限也可能在物理學上出現，固然物理學主要是研究可觀察的現象，就是那些實際上存在的事(數學並不受這限制)；然而物理的語文是數學[16]，並且近代物理的趨向是不得不處理一些不能觀察的概念，比方高維度的弦理論[17]，然而霍金[18]、愛因斯坦等物理學家都期盼尋找一個終極的物理定理[19]，可以解釋一切自然現象。但在物理史中，我們不難看見每當一 個「最後」的定理被發現後(比方：量子力學)，總是打開一扇大門讓人看見後面有更多、更奇妙的現象和難題。戴森博士就更極力主張物理也是「不能窮盡」的。換句話說，人的理性是不可能完全了解自然界的一切真理。
哥德爾來到普林斯頓後結識了[20]愛因斯坦。負有盛名的愛因斯坦比哥德爾大27歲，兩人的個性很不一樣，愛因斯坦隨和風趣、不修邊幅，心寬體胖；哥德爾則衣著整齊、嚴謹而不苟言笑，且骨瘦如柴。但是兩人很快就成了忘年之交，常常在一起散步、談話(大概不會是「談天」話家常)，以致愛因斯坦這樣說：「我待在普林斯頓高等研究院，主要就是每天可以陪哥德爾散散步」，這也可以說是對哥德爾最高的推崇了。後來哥德爾對相對論也發生了濃厚的興趣，還撰寫了幾篇關乎時空的論文[21]，並且指出在特殊的情況下(旋轉宇宙)，藉由「時光旅行」[22]回到過去，理論上是有可能的[23]。他真是愛因斯坦的知音了[24]。
1936年，「維也納學圈」的主持人史里克被他的一個學生刺殺，這件事對哥德爾的影響極深，使他得著一種莫名的恐懼症，怕有人下毒害他，到了晚年甚至吃飯前總要「先遣妻子嚐」。他71歲那年，妻子生病住院半年，他便不願進食，到了他自己也被送進普林斯頓醫院時，體重只剩三十公斤，旋即過世。後來死亡證明書上所記錄的死因為：「營養不良所導致的虛脫[25]」。理性大師竟然死得如此不合理性。哥德爾安葬在普林斯頓墓園[26]，離普林斯頓市立圖書館只有幾步路之遠，筆者偶而赴墓憑弔，也只能感嘆「哲人日已遠」了！
哥德爾死後，在他未公開發表的論文集[27] 中，包含一篇〈以本體論證明上帝的存在〉[28]的文章(基於安瑟倫[29]的本體論證法)，好像在說：數學與邏輯不足以說明一切的真理，因為真理是超理性的，是屬上帝的。哥德爾生前沒有發表這篇論文，不知是否怕又引起哲學界的一股聲討浪潮。可惜至今學者們對這篇論文的討論不多。
注釋
1. Institute for Advanced Study, Princeton NJ, 有「理論學者聖地」之稱。
2. Kurt Gödel (1906-1978) ，二十世紀偉大的數學、哲學家，1940年定居美國新澤西普林斯頓。
3. 基於公理 (Axioms) 的推演系統，指在這數學系統中，有些「真理」(true statement)不能從這系統中的公理導出來，就算把這導不出的真理設為「公理」，也只會引發其他導不出來的「真理」。
4. Moravia ，處於波蘭的南方、斯拉維亞的西北、奧地利的北方，1993年併入捷克斯拉夫。
5. Moritz Schlick (1882-1936)德國哲學家。
6. Vienna Circle，在Vienna Coffee House聚會，包含許多知名的哲學家、數學家、物理學家為成員。
7. Das Café Central今日已重建。
8. Logical Positivism集理性主義為經驗主義的理念，反對形而上學。
9. First Order Logic，是一種形式演譯系統。
10. David Hilbert (1862-1943) ，哥廷根大學極有影響力的數學家。
11. 原始文件發表於1931，Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme, I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98。
12. Freeman Dyson (1923 ─ )
13. 筆者亦屬非專家類。
14. Linguistics，指對人類學自然語文的研究。
15. Turing Universal Machine
16. 「『自然』這本書是用數學語言寫的」── 伽利略。
17. String Theory
18. Stephen Hawking (1942 ─ )近代重要英國物理學家，被譽為是繼愛因斯坦之後最傑出的理論物理學家之一。他提出宇宙大爆炸自奇點開始，時間由此刻開始，黑洞最終會蒸發，在統一20世紀物理學的兩大基礎理論(愛因斯坦的相對論和普朗克的量子論)方面走出了重要的一步。
19. 比方「統一場論」等等。
20. 其實他們在1933年曾在美國見過面。
21. An Example of a New Type of Cosmological Solution of Einstein's Field Equation of Gravitation, by Gödel, K(1949), Review of Modern Physics, 21, p447
22. Time travel
23. 他這篇論文至今仍是熱門的課題。
24. 哥德爾把這篇論文(註11) 獻給愛因斯坦慶祝他70歲生日。
25. Malnutrition and Inanition caused by personality disturbance
26. Princeton Cemetery, 29 Greenview Avenue, Princeton, NJ.哥德爾的墳墓在正門入口右轉走到底略偏左方之處，與馮諾伊曼( von Neumann) 之墓不遠。
27. Collective Works Vol. III, by Kurt Gödel (1995)
28. Ontological Proof of the Existence of God
29. Anselm of Canterbury (1033-1109)
本文摘自宇宙光出版社 《實存的真相》
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